0378. 有序矩阵中第 K 小的元素【中等】

• 1. 📝 题目描述
• 2. 🎯 s.1 - 二分查找
• 3. 🔗 引用

1. 📝 题目描述

• leetcode

给你一个 n x n 矩阵 matrix，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。

你必须找到一个内存复杂度优于 O(n^2) 的解决方案。

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示例 1：

输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8
输出：13
解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13

示例 2：

输入：matrix = [[-5]], k = 1
输出：-5

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提示：

• n == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= n <= 300
• -10^9 <= matrix[i][j] <= 10^9
• 题目数据 保证 matrix 中的所有行和列都按 非递减顺序 排列
• 1 <= k <= n^2

进阶：

• 你能否用一个恒定的内存(即 O(1) 内存复杂度)来解决这个问题?
• 你能在 O(n) 的时间复杂度下解决这个问题吗?这个方法对于面试来说可能太超前了，但是你会发现阅读这篇文章（ this paper ）很有趣。

2. 🎯 s.1 - 二分查找

c

int kthSmallest(int** matrix, int matrixSize, int* matrixColSize, int k) {
    int n = matrixSize;
    int lo = matrix[0][0], hi = matrix[n - 1][n - 1];
    while (lo < hi) {
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        int count = 0, j = n - 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (j >= 0 && matrix[i][j] > mid) j--;
            count += j + 1;
        }
        if (count < k) lo = mid + 1;
        else hi = mid;
    }
    return lo;
}

js

/**
 * @param {number[][]} matrix
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var kthSmallest = function (matrix, k) {
  const n = matrix.length
  let lo = matrix[0][0],
    hi = matrix[n - 1][n - 1]
  while (lo < hi) {
    const mid = Math.floor((lo + hi) / 2)
    let count = 0,
      j = n - 1
    for (let i = 0; i < n; i++) {
      while (j >= 0 && matrix[i][j] > mid) j--
      count += j + 1
    }
    if (count < k) lo = mid + 1
    else hi = mid
  }
  return lo
}

py

class Solution:
    def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
        n = len(matrix)
        lo, hi = matrix[0][0], matrix[n - 1][n - 1]
        while lo < hi:
            mid = (lo + hi) // 2
            count, j = 0, n - 1
            for i in range(n):
                while j >= 0 and matrix[i][j] > mid:
                    j -= 1
                count += j + 1
            if count < k:
                lo = mid + 1
            else:
                hi = mid
        return lo

• 时间复杂度：$O(n\log (max-min))$，其中 $n$ 是矩阵边长
• 空间复杂度：$O(1)$

算法思路：

• 对值域二分，每次统计矩阵中 $\le mid$ 的元素个数
• 利用行列单调性，从左下角开始统计，复杂度为 $O(n)$

3. 🔗 引用

• this paper