0813. 最大平均值和的分组【中等】

• 1. 📝 题目描述
• 2. 🎯 s.1 - 动态规划

1. 📝 题目描述

• leetcode

给定数组 nums 和一个整数 k。我们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个非空子数组，且数组内部是连续的。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。

注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。

返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在 10^-6 内被视为是正确的。

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示例 1：

输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3
输出: 20.00000
解释:
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20.
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9].
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2：

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4
输出: 20.50000

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提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 1 <= nums[i] <= 10^4
• 1 <= k <= nums.length

2. 🎯 s.1 - 动态规划

c

double largestSumOfAverages(int* nums, int numsSize, int k) {
    int n = numsSize;
    double prefix[n + 1];
    prefix[0] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) prefix[i + 1] = prefix[i] + nums[i];
    double dp[n + 1][k + 1];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i][1] = prefix[i] / i;
    for (int j = 2; j <= k; j++)
        for (int i = j; i <= n; i++)
            for (int p = j - 1; p < i; p++) {
                double val = dp[p][j - 1] + (prefix[i] - prefix[p]) / (i - p);
                if (val > dp[i][j]) dp[i][j] = val;
            }
    return dp[n][k];
}

js

/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var largestSumOfAverages = function (nums, k) {
  const n = nums.length
  const prefix = new Array(n + 1).fill(0)
  for (let i = 0; i < n; i++) prefix[i + 1] = prefix[i] + nums[i]
  const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => new Array(k + 1).fill(0))
  for (let i = 1; i <= n; i++) dp[i][1] = prefix[i] / i
  for (let j = 2; j <= k; j++)
    for (let i = j; i <= n; i++)
      for (let p = j - 1; p < i; p++)
        dp[i][j] = Math.max(
          dp[i][j],
          dp[p][j - 1] + (prefix[i] - prefix[p]) / (i - p),
        )
  return dp[n][k]
}

py

class Solution:
    def largestSumOfAverages(self, nums: List[int], k: int) -> float:
        n = len(nums)
        prefix = [0] * (n + 1)
        for i in range(n):
            prefix[i + 1] = prefix[i] + nums[i]
        dp = [[0.0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
        for i in range(1, n + 1):
            dp[i][1] = prefix[i] / i
        for j in range(2, k + 1):
            for i in range(j, n + 1):
                for p in range(j - 1, i):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[p][j - 1] + (prefix[i] - prefix[p]) / (i - p))
        return dp[n][k]

• 时间复杂度：$O(k\times n^2)$，其中 n 是数组长度
• 空间复杂度：$O(n\times k)$

算法思路：

• $dp[i][j]$ 表示前 i 个元素分成 j 组的最大平均值和
• 使用前缀和快速计算区间平均值，枚举分割点进行转移